Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:

Ax=λx(1)

di mana A suatu matriks persegi (n,n), x merupakan vektor (n,1) dengan x≠0, dan λ merupakan nilai eigen (skalar) dari matriks A. Untuk setiap matriks persegi A, terdapat pasangan nilai λ dan x yang memenuhi jalinan (1). Patut diingat bahwa sebagian matriks real mungkin saja tidak memiliki nilai eigen real. Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks A, mula-mula kita tulis ulang persamaan (1) ke dalam bentuk:

Ax−λx(A−λ)x=0=0(2)

dengan 0 adalah vektor-0 (vektor yang semua komponennya bernilai 0).

Sebagai contoh, misalkan diberikan A matriks 3x3 dan vektor x

A=⎛⎝⎜−8−14−22213145−9−13−19⎞⎠⎟danx=⎛⎝⎜abc⎞⎠⎟(3)

Berdasarkan persamaan (2), dapat dituliskan

⎛⎝⎜−8−λ−14−222131−λ45−9−13−19−λ⎞⎠⎟⎛⎝⎜abc⎞⎠⎟=0(4)

Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A−λ) dengan metode Sarrus (khusus matriks 3x3) atau ekspansi kofaktor. Menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama, diperoleh

det(A−λ)=(−8−λ)∣∣∣31−λ45−13−19−λ∣∣∣−(21)∣∣∣−14−22−13−19−λ∣∣∣+(−9)∣∣∣−14−2231−λ45∣∣∣=−λ3+4λ2+4λ−16

Polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Berdasarkan persamaan (2), diketahui jika x tidak nol maka det(A−λ) haruslah sama dengan 0 (dapat dilihat dengan metode Crammer, nilai komponen x berupa bentuk tak tentu alih-alih 0). Dengan demikian, diperoleh persamaan

0=−λ3+4λ2+4λ−16(5)

Jelaslah bahwa nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh −λ3+4λ2+4λ−16=(λ+2)(−λ+2)(λ−4) sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ=2,λ=−2 dan λ=4. Tentunya matriks persegi orde-n akan memberikan persamaan karakteristik orde-n pula. Dengan begitu, matriks persegi orde-n memiliki paling banyak n nilai eigen (bisa kurang jika ada akar kembar).

Berikut ini diberikan cara spesial (sebenarnya hanya langkah ringkas) untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3.

☺ matriks 2x2: det(A)−λ⋅trace(A)+λ2

☺ matriks 3x3: det(A)−λ⋅(M11+M22+M33)+λ2⋅trace(A)−λ3

dengan Mij adalah Minor dari matriks A.

Vektor Eigen

Vektor eigen x merupakan solusi dari persamaan (1) untuk setiap nilai λ yang ada. Memperhatikan persamaan (1), jelaslah bila x1 adalah vektor eigen terkait nilai eigen λ1 maka k⋅x1 dengan k suatu skalar juga merupakan solusinya. Jadi, kita cukup menyatakan vektor eigen dalam bentuk paling sederhana. Misalnya pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, vektor eigennya juga ada tiga. Untuk λ=2, substitusikan nilai λ ke dalam persamaan (4)

⎛⎝⎜−8−(2)−14−222131−(2)45−9−13−19−(2)⎞⎠⎟⎛⎝⎜abc⎞⎠⎟⎛⎝⎜−10−14−22212945−9−13−21⎞⎠⎟⎛⎝⎜abc⎞⎠⎟=⎛⎝⎜000⎞⎠⎟=⎛⎝⎜000⎞⎠⎟(6)

SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak memberikan hasil karena SPL (6) tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks pada ruas kiri persamaan (6) dapat diubah menjadi matriks segitiga melalui operasi baris elementer (OBE) yaitu:

⎛⎝⎜−10−14−22212945−9−13−21⎞⎠⎟O21(−14/10)=⎛⎝⎜−100−2221−41045−9−410−21⎞⎠⎟O31(−22/10)=⎛⎝⎜⎜−100021−410−1210−9−410−1210⎞⎠⎟⎟O32(−3)=⎛⎝⎜−100021−4100−9−4100⎞⎠⎟

Dengan demikian, persamaan (6) dapat ditulis ulang menjadi:

⎛⎝⎜−100021−0,40−9−0,40⎞⎠⎟⎛⎝⎜abc⎞⎠⎟=⎛⎝⎜000⎞⎠⎟(7)

jika a,b,c kita nyatakan dalam c, diperoleh

−0,4b−0,4c−10a+21b−9c=0=0

Dari kedua persamaan di atas diperoleh b=−c dan a=−3c. Jadi vektor eigen untuk λ=2 ialah

x1=⎛⎝⎜−3c−cc⎞⎠⎟=⎛⎝⎜−3−11⎞⎠⎟

Dengan cara serupa, untuk λ=−2, jika ditelusuri diperoleh

x2=⎛⎝⎜⎜14c12cc⎞⎠⎟⎟=⎛⎝⎜124⎞⎠⎟

dan untuk λ=4,

x3=⎛⎝⎜ccc⎞⎠⎟=⎛⎝⎜111⎞⎠⎟

Dapat Anda cek dengan menyulihkan nilai λ dan x pasangannya masing-masing, jalinan (1) terpenuhi.

Contoh Soal :