Pengantar Transformasi Linear
Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah suatu fungsi yang mengasosiasikan
vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka dikatakan F memetakan
V di dalam W, dan ditulis F: V W. Jika
F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka dituliskan w: F(v) dan
dikatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. Ruang vektor V dinamakan
domain F.
Untuk melukiskannya, jika v = (x, y) adalah suatu vektor di
R2, maka rumus :
F(v)
= (x, x + y, y - x)
mendefinisikan suatu fungsi yang memetakan R2 ke dalam
R3.
Khususnya : Jika v = (1, 1) x = 1, y = 1 sehingga
bayangan dari V di bawah F adalah : F(v) = (1, 2, 0). Dengan demikian, domain F
adalah R2..
Jika F: V W adalah
suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan
transformasi linear (linear transformation) jika
i) F(u
+ v) = F(u) + F(v)untuk semua vektor u dan v di V.
ii) F(ku)
= k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
Contoh :
1. Misalkan
F: R2 R2 adalah
fungsi yang didefinisikan oleh F(v) = (2x, y) dengan v = (x, y) di R2. Buktikan
bahwa F merupakan transformasi linear!
Bukti :
Misalkan: u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)
a.) F (u + v) = F [(x1, y1)
+ (x2, y2)]
= F (x1 + x2, y1+ y2)
= (2 [x1 + x2], [y1+ y2] )
= ( [2x1, y1] + [2x2, y2] )
= F (u) + F (v)
b.) F
(ku) = F (k x1, k y1)
= (k 2x1, k y1)
= k (2x1, y1)
= k F (u)
Jadi, F adalah suatu transformasi linear.
2. Periksa
lineritas transformasi, T: R2 R3 dengan
T(x, y) = (2x + y, x – 3y, 3x + 1).
Bukti :
Misalkan: u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)
a.) F (u + v) = F [ (x1,
y1) + (x2, y2) ]
= F [ x1 + x2, y1 + y2 ]
= [2 (x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - 3 (y1 + y2), 3 (x1 +
x2) + 1)
= [2x1 + 2x2 + y1 + y2, x1 + x2 - 3y1 - 3y2, 3x1 +
3x2 + 1]
= [(2x1 + y1) + (2x2 + y2), (x1 - 3y1) + (x2 - 3y2), (3x1 +
1) + 3x2]
= [2x1 + y, x1 - 3y1, 3x1 + 1] + [2x2 + y2, x2 -
3y2, 3x2]
= F (u) ≠ F (v)
Diperoleh F (u + v) ≠ F (u) + F (v)
b.) F
(ku) = F (k x1, k y1)
= [2k x1 + k y1, k x1 – 3k y1, 3k x1 + 1]
= k [2x1 + y1, x1 – 3 y1, 3k x1 + 1/k]
F (ku) ≠ F (u)
Jadi, T bukan suatu transformasi linear.
3. Tunjukkan bahwa T : R2 ® R3 yang
didefinisikan oleh T(x) = 2x adalah transformasi
linear.
Penyelesaian
Diambil sebarang x, y Î R, maka:
T(x + y) = 2(x + y)
[rumus fungsi]
= 2x + 2y [sifat
aritmatika real]
= T(x) + T(y)
[rumus fungsi]
dan juga
T(kx) = 2(kx)
[rumus fungsi]
= k(2x)
[sifat
aritmatika real]
= kT(x)
[rumus fungsi]
untuk k Î R. Disimpulkan bahwa T adalah
transformasi linear.
4. Tunjukkan bahwa T : R2 ® R3, T(x)
= x2 bukanlah transformasi linear.
Penyelesaian
Harus ditunjukkan bahwa definisi transformasi linear tidak
dipenuhi oleh fungsi tersebut, dan ini bisa ditunjukkan dengan contoh
penyangkal.
Berdasarkan rumus fungsi diperoleh bahwa
T(1) = 12 = 1 dan T(2) = 22 = 4.
Karena 2 = 1 + 1 dan 22 ¹ 12 + 12, maka
22 = T(2) = T( 1 + 1) ¹ T(1)
+ T(1) = 12 + 12.
Disimpulkan bahwa T bukanlah transformasi linear.
Misalkan A adalah suatu matriks berorde m x n.
Jika notasi matriks digunakan untuk vektor di Rm dan Rn , maka
dapat didefinisikan suatu fungsi T: Rn Rm dengan :
T(x) = Ax
Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah
matriks m x 1; jadi memetakan Rn ke dalam Rm dan T linear.
. Carilah
matriks baku untuk transformasi T: R3 R2 yang
didefinisikan oleh: T(x) = (x1 + x2, x2 + x3 ), untuk setiap x =
(x1, x2, x3) dalam Rn.
Jawab :
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa T adalah transformasi
linear. Untuk mencari matriks A sehingga T(x) = Ax untuk setiap x R3 ,
terlebih dulu harus ditentukan T(e1), T(e2), dan T(e3).
T(e1) = T(1, 0, 0) = ; T(e2) =
T(0, 1, 0) = ; T(e3) = T(0,
0, 1) =
Pilih vektor – vektor koordinat ini untuk menjadi kolom –
kolom dari matriks A.
A =
Untuk meeriksa hasilnya, hitung Ax.
Ax = =
, Sesuai dengan rumus yang diberikan untuk T.
2. Tunjukkan bahwa T : M 2(R) ® P2(R)
yang didefinisikan oleh :
T = a +
(d – c)x + (b + c)x2 adalah transformasi linear.
Penyelesaian
Diambil sebarang , Î M2(R).
Berdasarkan rumus fungsi diperoleh:
T = T
= (a + e) + ((d + h) – (c + g))x + ((b + f) + (c + g))x2
= (a + (d – c)x + (b + c)x2) + (e + (h – g)x + (f + g)x2)
= T
Selanjutnya jika k Î R, maka:
T = T
= ka + (kd – kc)x + (kb + kc)x2
= k (a + (d – c)x + (b + c)x2)
= kT
Disimpulkan bahwa T adalah linear.
B. Sifat Transformasi Linear
Kernel Dan Jangkauan
Jika T: V W adalah
transformasi linear, maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0
dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh
ker(T). Himpunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari
paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut
dinyatakan oleh R(T).
Komentar
Posting Komentar