Pengertian dan Contoh Sistem Persamaan Linier
– Sistem persamaan linear dua variabel (SLDV) yaitu sebuah sistem / kesatuan dari beberapa persamaan linear dua variabel yang sejenis. Maka, sebelum mempelajari sistem persamaan linear dua variabel lebih jauh, mari kita pelajari terlebih dahulu mengenai hal-hal yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Berikut ini merupakan pembahasan tentang Persamaan Linear Dua Variabel, sistem persamaan linear dua variabel, persamaan linier dua variabel, sistem persamaan linier dua variabel, persamaan linear 2 variabel, pengertian persamaan linear dua variabel, contoh soal persamaan linear dua variabel, pldv, contoh soal persamaan linier dua variabel.
Ibu Hayati dan ibu Sofi pergi berbelanja di pasar. Ibu Hayati membeli 3 kg apel dan 4 kg jeruk dengan harga Rp 58.000,00. Ibu Sofi membeli 4 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00.
Dapatkah kamu menentukan harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk? Persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan persamaan liner. Caranya dengan memisalkan buah apel sebagai x dan buah jeruk sebagai y lalu memasukkannya dalam sebuah persamaan.
Persamaan-persaman di atas memiliki sebuah variabel, yaitu x, y, dan z. Lalu bagaimana bentuk persamaan linear dua variabel? Ayo kita simak pada uraian berikut!
Jadi, persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk ax + by = c dimana x dan y adalah variabel dan a, b, c ∈ R (a ≠ 0, b ≠ 0).
Ibu Hayati dan ibu Sofi pergi berbelanja di pasar. Ibu Hayati membeli 3 kg apel dan 4 kg jeruk dengan harga Rp 58.000,00. Ibu Sofi membeli 4 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00.
Dapatkah kamu menentukan harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk? Persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan persamaan liner. Caranya dengan memisalkan buah apel sebagai x dan buah jeruk sebagai y lalu memasukkannya dalam sebuah persamaan.
Persamaan Linear Dua Variabel
Masih ingat apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel? Coba kalian perhatikan persamaan berikut.- 2x + 3 = –4;
- 3y – 2 = 5; dan
- –z + 3 = 7.
Persamaan-persaman di atas memiliki sebuah variabel, yaitu x, y, dan z. Lalu bagaimana bentuk persamaan linear dua variabel? Ayo kita simak pada uraian berikut!
Contoh :
Joni mempunyai 5 ekor dan 3 ekor sapi.
Bila ditulis dengan memisahkan : a = kambing dan b = sapi
Jadi = 5a + 3b dengan 5 dan 3 ialah koefisien dengan 5 yaitu
koefisien b
Konstanta ialah suatu bilangan yang tidak diikuti oleh
veriabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai peubah (variabel)
berapapun.
Contoh :
4p + 3q -10
-10 ialah suatu konstanta karena berapapun nilai p dan q,
nilai -10 tidak ikut terpengaruh sehingga tetap (konstan)
Suku ialah suatu bagian dari bentuk aljabar yang bisa
terdiri dari variabel dan koefisien atau berbentuk konstanta yang tiap pada
suku dipisahkan dengan tanda operasi penjumlahan.
Contoh :
5x- y + 7 , suku – sukunya adalah : 5x, -y, dan 7
Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel ialah sebuah bentuk relasi
sama dengan pada bentuk aljabar yang mempunyai dua variabel dan keduanya
berpangkat 1 (satu).
Dapat dikatakan persamaan linear dua variabel karena pada
bentuk persamaan tersebut nila digambarkan dalam bentuk grafik, jadi akan
terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).
Cirri-ciri persamaan linear dua variabel:
Memakai relasi sama dengan ( = )
Mempunyai dua variabel yang berbeda
Kedua variabelnya berpangkat satu
Contoh :
2x – 5y = 2 ialah (PLDV)
3x + 5y > 10 ialah (Bukan PLDV) karena memakai relasi
“>”
Pada kehidupan sehari-hari, terdapat beberapa permasalahan
yang berhubungan dengan konsep persamaan linear dua variabel. Misal sebagai
contoh :
Joni membeli 2 buku tulis dan 3 pensil = Rp 20.000,00 .
Berapakah harga untuk masing – masing barang tersebut ?
Permasalahan di atas yaitu salah satu permasalahan yang
berhubungan dengan PLDV karena terdapat 2 variabel yang berbeda ialah harga
buku tulis dan harga pensil. Bila dimisalkan a = harga buku tulis, dan b =
harga pensil. Jadi, permasalahan diatas bisa diubah dalam bentuk matematika
sebagai berikut :
2a + 3b = 20.000
Dengan a dan b ialah suatu peubah dari harga barang yang
berbeda.
Dalam permasalahan PLDV seperti ini, kedua variabel nilai
akan saling mempengaruhi sehingga untuk satu bentuk PLDV, kalian dapat
menyelesaikannya dengan cara menebak langsung kemungkinannya. Perhatikan contoh
dibawah ini :
Harga Buku Tulis Harga Pensil
Rp
2.000,00
Rp 6.000,00
Rp
2.500,00
Rp 5.000,00
Rp
4.000,00
Rp 4.000,00
Rp 5.500,00
Rp 3.000,00. Dan seterusnya
Dari penjelasan diatas menunjukkan kemungkinan–kemungkinan
harga buku dan pensil sehingga untuk pembelian 2 buku tulis dan 3 pensil ialah
Rp 20.000,00.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Seperti pada penjelasan diatas, sistem persamaan linear dua
variabel ialah sebuah sistem atau kesatun dari beberapa persamaan linear dua
variabel yang sejenis. Persamaan linear dua variabel yang sejenis yang dimaksud
disini ialah persamaan – persamaan dua variabel yang memuat variabel yang sama.
Contoh :
Persamaan (i) ; 2x + 3y = 12
Persamaan (ii) ; x – 2y = -1
Kedua persamaan tersebut dapat dikatakan sejenis karena
memuat variabel variabel yang sama yakni x dan y.
bila pada PLDV, bisa dikatakan bahwa PLDV mempunyai
penyelesaian lebih dari satu asalkan penyelesaian tersebut memenuhi nilai pada
PLDV. bila pada SPLDV, persamaan – persamaan yang ada akan saling
mengikat nilainya sehingga himpunan penyelesaiannya harus memenuhi disemua PLDV
yang membentuk SPLDV.
Contoh :
bila 2x + 3y = 12 dan x – 2y = – 1, jadi nilai x dan y
masing-masing ialah …
Perhatikan tabel penyelesaian dibawah ini !
Persamaan. 2x + 3y = 12 Pers.
x – 2y = -1
x
y
x y
0
4
0 ½
1 10/3
1 1
2
8/3
2 3/2
3
2
3 2
5
2/3
4 5/2
6
0
-1 0
Dst
Dst
Pada masing-masing PLDV mempunyai banyak penyelesaian, tapi
untuk himpunan penyelesaian yang benar pada SPLDV ialah penyelesaian yang ada
di semua PLDV. Pada contoh diatas, himpunan penyelesaiannya yaitu x = 3 dan y =
2
Pada contoh diatas, bisa disimpulkan bahwa syarat sebuah
sistem persamaan linear dua variabel bisa mempunyai satu penyelesaian apabila :
Terdapat PLDV lebih dari 1 dan sejenis.
PLDV yang membentuk SPLDV bukan PLDV yang sama.
Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
Selain cara sebelumnya terdapat metode/cara lain untuk
menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.
Diantaranya :
1. Metode substitusi (mengganti)
Metode ini yaitu yang menggunakan nilai untuk persamaan dari
sebuah variabel untuk menggantikan variabel tersebut.
Contoh :
Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. jadi nilai a dan b masing –
masing ialah…
Jawab :
2a + b = 7 ………. persamaan. i
2a – b = 5 ………. persamaan. ii
Pers. I bisa diubah bentuk menjadi b = 7 – 2a, sehingga
kalian bisa mengganti b pada pers. ii dengan bentuk tersebut.
b = 7 – 2a ……… persamaan. i
2a – b = 5………. persamaan. ii
2a – (7 – 2a) = 5 ………….…… b diganti 7 – 2a
2a – 7 + 2a = 5
4a = 5 + 7
a = 12/4
a = 3
nilai a ialah 3, ini bisa kita substitusikan ke pers. i atau
pers. ii
b = 7 – 2a
b = 7 – 2(3)
b = 7 – 6
b = 1
2. Metode eliminasi (menghilangkan)
Metode ini yaitu metode yang memakai cara menghilangkan
sebuah variabel dari dua persamaan dengan mengoperasikan kedua persamaan. Yang
dimaksud dari mengoperasikan persamaan yaitu kita bisa menjumlahakan persamaan
atau mengurangkan persamaan satu dengan persamaan lainnya.
Sehingga salah satu variabelnya hilang/habis.
Contoh :
Tentukan nilai p bila 2p – q = 5 dan p + 3q = -1 !
Penyelesaian :
Jawab :
Dua persamaan tersebut bisa langsung kalian jumlahkan atau
kurangkan, namun jika langsung dijumlah atau dikurangkan tidak akan ada
variabel yang hilang sehingga kalian harus menyamakan koefisien salah satu
variabel dari kedua PLDV terlebih dahulu. Misanya kalian menyamakan koefisien p
sehingga p nanti dapat hilang.
2p – q = 5 (x
1) 2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2) 2p + 6q= -2
–
0 – 7q = 7
q = (-7)/7
q = -1
sesudah nilai q didapatkan, kalian bisa mencari p dengan
menghilangkan q dengan cara yang sama seperti saat menghilangkan p.
2p – q = 5 (x 3) 6p–3q = 15
p + 3q = – 1 (x 1) p + 3q = -1 +
7p + 0 = 14
p = 14/7
p
= 2.
3. Metode campuran (eliminasi-substitusi)
Metode campuran ini merupakan metode yang menggaabungkan
metode eliminasi dan metode substitusi yaitu dengan metode eliminasi sebagai
metode awal untuk menentukan nilai salah satu variabel dan kemudian nilai
variabel disubstitusikan untuk menentukan nilai variabel yang lainnya.
Contoh :
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!
Penyelesaian :
2p – q = 5 … (pers. i)
p + 3q = – 1 … (pers. ii)
Eliminasi per (i) dan pers (ii)
2p – q = 5 (x
1) 2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2) 2p + 6q= -2
–
0 – 7q = 7
q = (-7)/7
q = -1.
Sesudah nilai q diperoleh, kalian substitusikan ke
salah satu persamaan.
p + 3q = -1
p + 3(-1) = -1
p – 3 = -1
p = -1 + 3
p = 2
HP = {2; -1}
Contoh Soal Persamaan Linear Dua Variabel
1. Pada sebuah pertunjukan seni terjual 500 lembar karcis
yang terdiri dari karcis kelas Ekonomi dan Karcis kelas Utama. Harga karcis
pada kelas Ekonomi yaitu Rp. 6000,00 dan kelas Utama yaitu Rp. 8000,00. Apabila
hasil penjualan seluruh karcis ialah Rp.3.360.000,00 . berapakah jumlah karcis
kelas Ekonomi yang terjual ?
Penyelesaiannya :
Misalkan jumlah karcis kelas ekonomi = a, jumlah karcis
kelas Utama = b
Maka ;
a + b = 500 …. (1)
6000a + 8000b = 3.360.000 6a + 8b = 3.360… (2)
Eliminasi b
a + b = 500
| x 8
6a + 8b = 3.360 | x 1
8a + 8b = 4000
6a + 8b = 3.360 –
2a = 640
a = 320
Jadi banyaknya karcis pada kelas ekonomi yang terjual ialah
320 karcis.
2. Jika Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilanga
tersebut adalah 108. Tentukanlah bilangan yang paling besar diantara keduanya.
Penyelesaiannya :
Misalkan bilangan yang terbesar = a, dan yang terkecil = b
Maka ;
a + b = 200
a – b = 108 +
2a = 308
a = 154
Jadi, bilangan yang terbesar ialah 154.
3. Tami dan Ade bekerja pada sebuah pabrik tas. Tami dapat
menyelesaikan 3 buah tas dalam setiap jam dan Ade dapat menyelesaikan 4 buah
tas dalam setiap jamnya. Jumlah jam kerja Tami dan Ade adalah 16 jam sehari,
dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya yaitu 55 tas. Jika, jam kerja
keduanya berbeda, tentukanlah jam kerja mereka masing-masing!
Penyelesaiannya :
Misalnya jam kerja Tami = a dan jam kerja Ade = b
Maka ;
3a + 4b = 55 | x 1
a + b = 16 |x 3
3a + 4b = 55
3a + 3b = 48 –
b = 7
a = 16 -7 = 9
Jadi, Tami bekerja selama 9 jam dan Ade bekera 7 jam dalam
sehari.
4. Alfi membeli 4 buku dan 5 pensil dengan harga
Rp.24.000,00 . Dina membeli 6 buku dan 2 pulpen dengan harga Rp. 27.200,00.
Jika Susi ingin membeli 3 buku dan 2 pensil berapa yang harus dibayar oleh
Susi?
Penyelesaiannya :
Misal buku = b, dan pensil = p
4b + 5p = 24.000 | x 2
6p + 2p = 27.200 | x 5
8b + 10p = 48.000
30p + 10p = 136.000 –
-22b
= 88.000
b = 4000
4(4000) + 5p = 24.000
5p = 8000
P = 1600
3b + 2p = 3(4000) + 2(1600) = 15.200
Jadi, Susi harus membayar Rp. 15.200,00.
5. Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg.
Tepung jenis pertama seharga Rp.6000,00 dan Tepung jenis kedua seharga Rp.
6.200,00. Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan Rp.
306.000,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut!
Penyelesaiannya :
Misal berat tepung jenis pertama = x dan tepung jenis kedua
= y
Maka;
x + y = 50
6000x + 6200y = 306.000 à 60x + 62 y = 3.060
Jadi persamaannya adalah x + y = 50 dan 60x + 62
y = 3.060.
Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel
Misalkan kita menemukan persamaan 2x + 3y = 6 atau q – 2r = 3. Pada persamaan tersebut masing-masing mempunyai dua variabel, yaitu x dan y serta q dan r.Jadi, persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk ax + by = c dimana x dan y adalah variabel dan a, b, c ∈ R (a ≠ 0, b ≠ 0).
Contoh Persamaan Linear Dua Variabel
- 3x – 2y = 10 (persamaan linear dua variabel)
- –4p – 2q = 3 (persamaan linear dua variabel)
- x2 – 2y = 5 (bukan persamaan linear dua variabel)
- 3x – 2y + 5z = 10 (bukan persamaan linear dua variabel)
Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel
Menentukan penyelesaian persamaan linear dua variabel berbentuk ax + by = c sama artinya dengan mencari bilangan-bilangan pengganti x dan y yang memenuhi persamaan tersebut.
Himpunan penyelesaian dari persamaan ax + by = c merupakan pasangan berurutan (x, y). Hal ini pernah kalian pelajari juga pada pembahasan yang membahas tentang fungsi.
Agar lebih mudah mencari penyelesaian suatu persamaan biasanya digunakan tabel. Perhatikan contoh berikut ini!
a. x dan y variabel pada himpunan bilangan cacah
b. x dan y variabel pada himpunan bilangan real
Penyelesaian:
a. Perhatikan x dan y variabel pada himpunan bilangan cacah, jika dihasilkan nilai yang bukan bilangan cacah maka itu bukan himpunan penyelesaiannya.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: {(0, 4), (1, 2), (2, 0)}
b. Jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real, maka terdapat tak hingga banyaknya himpunan penyelesaiannya. Jika digambarkan dalam grafik maka diperoleh garis lurus seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis: {(x, y)|2x + y = 4; x, y ∈ R }
Agar lebih mudah mencari penyelesaian suatu persamaan biasanya digunakan tabel. Perhatikan contoh berikut ini!
Contoh Soal Persamaan Linear Dua Variable
Tentukan himpunan penyelesaian dari PLDV dari 2x + y = 4, jika:a. x dan y variabel pada himpunan bilangan cacah
b. x dan y variabel pada himpunan bilangan real
Penyelesaian:
a. Perhatikan x dan y variabel pada himpunan bilangan cacah, jika dihasilkan nilai yang bukan bilangan cacah maka itu bukan himpunan penyelesaiannya.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: {(0, 4), (1, 2), (2, 0)}
b. Jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real, maka terdapat tak hingga banyaknya himpunan penyelesaiannya. Jika digambarkan dalam grafik maka diperoleh garis lurus seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis: {(x, y)|2x + y = 4; x, y ∈ R }
Cara Menyelesaikan Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Berikut ini adalah pembahasan tentang contoh soal sistem persamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam kehidupan sehari-hari kita dapat menemukan solusi permasalahan yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Di pembahasan sebelumnya, kalian temukan satu contoh permasalahannya.
Model matematika ini merupakan penjabaran soal ke dalam kalimat matematika. Dalam hal ini kalian harus mengetahui mana yang menjadi variabel, mana yang menjadi koefisien, dan mana yang menjadi konstanta dari soal cerita yang diberikan.
Untuk mencari himpunan penyelesaian ini kalian dapat menggunakan empat metode yang sudah dibahas pada pembahasan sebelumnya. Pilih salah satu metode yang kalian anggap paling mudah.
Penyelesaian:
Dalam kehidupan sehari-hari kita dapat menemukan solusi permasalahan yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Di pembahasan sebelumnya, kalian temukan satu contoh permasalahannya.
Cara Menyelesaikan Soal Cerita SPLDV
Untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dua variabel maka langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.1. Membuat Model Matematika
Langkah awal untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan SPLDV adalah membuat model matematika.Model matematika ini merupakan penjabaran soal ke dalam kalimat matematika. Dalam hal ini kalian harus mengetahui mana yang menjadi variabel, mana yang menjadi koefisien, dan mana yang menjadi konstanta dari soal cerita yang diberikan.
2. Mencari Himpunan Penyelesaian
Setelah soal tersebut diubah ke dalam bentuk kalimat matematika atau model matematika maka carilah himpunan penyelesaiannya.Untuk mencari himpunan penyelesaian ini kalian dapat menggunakan empat metode yang sudah dibahas pada pembahasan sebelumnya. Pilih salah satu metode yang kalian anggap paling mudah.
Contoh Soal dan Pembahasannya
Ibu Hayati dan ibu Sofi berbelanja di pasar. Ibu Hayati membeli 3 kg apel dan 4 kg jeruk dengan harga Rp 58.000,00. Ibu Sofi membeli 4 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Tentukanlah harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk!Penyelesaian:
Membuat model matematiMisalkan:
Harga 1 kg apel = x rupiah ; Harga 1 kg jeruk = y rupiah
3x + 4y = 58.000
4x + 3y = 61.000
Pertanyaan: 2x + 3y = ?
• Mencari himpunan penyelesaian
Harga 1 kg apel = Rp 10.000,00 dan harga 1 kg jeruk = Rp 7.000,00
2x + 3y = 2(10.000) + 3(7.000) = 20.000 + 21.000 = 41.000
Jadi harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk adalah Rp 41.000,00.
3x + 4y = 58.000
4x + 3y = 61.000
Pertanyaan: 2x + 3y = ?
• Mencari himpunan penyelesaian
Harga 1 kg apel = Rp 10.000,00 dan harga 1 kg jeruk = Rp 7.000,00
2x + 3y = 2(10.000) + 3(7.000) = 20.000 + 21.000 = 41.000
Jadi harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk adalah Rp 41.000,00.
Komentar
Posting Komentar